为什么要淡化竖式笔算

时间:2012年12月26日信息来源:本站原创 点击: 【字体:

为什么要淡化竖式笔算
──如何培养计算的灵活性与创造性
 
福建省特级教师 王  永
 
  笔算是什么?笔算是记录计算过程与结果的书面形式。笔算的形式是多样化的,大体上可以分为横式笔算与竖式笔算两种;同一种笔算也是形态各异,不拘一格的。就竖式笔算而言,就有标准的竖式笔算与非标准的竖式笔算之分。
  审视当下小学数学各种版本的教科书,虽然在体现计算教学改革的理念与力度上有区别,但有一点却非常一致,即在中低年级都把标准的竖式笔算作为计算教学唯一的归宿。例如,到了第二学段学习小数四则运算的时候,标准的竖式笔算就成为学生通往计算彼岸的一座独木桥,除此别无他途。
  除法是小学计算教学的难点,难点都集中在掌握竖式除法上。一位很优秀的青年教师告诉我一件事,耐人寻味:她班里有个“差生”,怎么也不理解“312÷3”的竖式笔算的过程和方法,急得哭了;后来这个孩子问她,300÷3=100,12÷3=4,100+4=104,这样算很容易就得出结果了,为什么一定要用竖式计算呢?不理解标准的竖式笔算的孩子是差生吗?这个孩子一点也不差!他有强烈的学习愿望,当他遇到困难的时候,能主动地从数学模式与数字关系寻找有效的计算策略,不仅解决了问题,还敢于提出质疑。这不就是数学教育所要培养的“数字感觉”(简称“数感”)与数学精神吗?的确,成人必须认真反思并积极回应前面那个三年级小学生的质疑。
  费赖登塔尔说过,长除法的标准形式“对于计算器时代来说,几乎不可能是一种‘必须的’东西”。时代变了,程序计算的标准形式——竖式笔算已经不再是学生“适应未来社会生活和进一步发展所必需的”必要的应用技能。国际数学教育研究还表明,这种标准程序计算与儿童的经验相距甚远,是儿童不易掌握、容易犯错的算法;儿童往往知其然却不知其所以然。在这些背景下,为什么我们的小学数学教育还在强调竖式算法?小学的数学考试还非考竖式笔算不可呢?有没有想过,对竖式笔算的强制与强化所导致的不良后果?
掌握竖式除法必须突破两个难关:一是理解竖式除法的格式、步骤是怎样从具体的情境操作中抽象出来的,二是掌握“试商”的方法。为了化解上述难点,教材编者精心设计,层层铺垫,第一线老师也费尽  心思,精益求精,但教学效果依然不尽人意;甚至有人惊呼:数学课程改革导致学生计算能力普遍下降,必须回归强化竖式笔算训练的老路。
  事实上,如果说当下小学计算能力确有下降,也不能责怪于课程改革。《数学课程标准》对整数计算的具体目标分四种类别:①能熟练地口算;②会口算;③能计算;④能笔算。“会口算”与“能笔算”应该是“能计算”的应有之义;而“能笔算”应该把横式笔算与竖式笔算都包括在内。如果对“目标”的这样解读是正确的话,那么目前任何一种版本的小学数学教科书,都没有完全达到这些目标的要求。
  “54÷3=?学生会口算吗?”笔者曾经向一些教研员和一线老师作调查,结果是“这道题大多数学生不会口算”,“这样的要求太高了,学生达不到”……。课程标准明文规定:“会口算百以内一位数乘、除两位数”。可是任何版本的教科书对此都没有提出口算的要求。问题就出在这里,这类比较简单的计算题都养成学生对竖式笔算程序的依赖,还怎么能培养学生的数感?还怎么能发挥学生计算的灵活性与创造性呢?
  其实,54÷3有许多口算的方法。探索这些方法,初期可以把抽象的数字与实物模型联系起来,如,54个苹果平均分给3个人,每人分得多少个苹果?通过布置情境,操作情境,解决问题;再用口语描述操作的过程与结果,并用算式记录下来。而后逐步脱离实物,过渡到直接利用抽象的数字进行思考与运算。这个发展过程是培养与形成“数感”的必由之路。直观是手段,通过直观发展抽象思维才是数学教育的目的。
  54÷3有哪些口算方法呢?
  算法1:54=30+24,30÷3=10,24÷3=8,10+8=18。
  算法2:54=60-6,60÷3=20,6÷3=2,20-2=18。
  算法3:3=9÷3,54÷9=6,6×3=18。
  算法4:3=6÷2,54÷6=9,9×2=18。
  ……
  上面记录口算的过程与结果的形式,就是横式笔算。通过横式笔算可以了解学生的想法,并使算法的书面交流成为可能。这是必须加强横式笔算的第一个理由。
  模式笔算没有固定不变的格式,它能够灵活地选择适当的算式来记录不同算法的程序。而标准的竖式笔算,只能记录与上述算法1程序一致的算法的过程与结果,对记录其他的算法程序都无能为力。这是必须加强横式笔算的第二个理由。
  观察上述四种算法,有什么共同点?你能从数学的角度发现算法多样化的根源吗?计算54÷3,用乘法口诀是不能直接求商的。因为不能一步到位不得不考虑分步到位,分步计算就是上述算法的共同特点。怎样分步计算,则要根据被除数54或除数6的不同的结构特征;一个数字与其他从多数字的不同的关联,都可能联系着不同的算法。所以,数的多元表征是算法多样化的根源,也是寻找有效算法的基本线索。
  如上所述,借助横式笔算才可能进一步深入研究数字模式与数字关系,发现规律,揭示数学的本质。这是加强横式笔算的第三个理由。
  课程改革初期,曾经有“淡化笔算”的说法。其实横式笔算不仅不能淡化,而且必须加强;必须淡化的是竖式笔算(程序计算)。可是计算教学的现实却相反,至今对竖式笔算的青睐与推崇丝毫不减当年。那么,我们就给竖式笔算“不能淡化,更不能抛弃”找找理由,看看这些理由是否站得住脚。
  理由之一:如果没有打好整数竖式笔算的基础,那么怎么掌握后续的小数的四则运算?
  难道没有掌握整数的竖式笔算,小数的运算真的就举步惟艰、寸步难行吗?
  计算:7.7÷0.55。
  算法1:(估算)7.5÷0.5=15,7.7÷0.55≈15。
  算法2:7.7÷0.55=770÷55=(770÷11)÷(55÷11)
          =70÷5=14。
  算法3:7.7÷0.55=(7.7×2)÷(0.55×2)
               =15.4÷1.1=(11+4.4)÷1.1
               =10+4=14.
  算法4:7.7=5.5+2.2,5.5÷0.55=10,
  2.2÷0.55=(2.2÷1.1)÷(0.55÷1.1)=2÷0.5=4,10+4=14。
      为什么要淡化竖式笔算     
  ……
  由此可见,小数除法并非只有转化为整数竖式笔算这一种途径。小数除法的基础不仅是整数四则运算,还有小数加法、减法与乘法等运算;已有的知识与经验越多,意味着计算的工具或手段也越多,因此,小数除法算法的丰富性与多样性是很自然的。不过,上述种种算法的过程是否还需要展开或简缩,取决于计算者个人的数字关联的意识与处理数字问题的能力。
  理由之二:竖式笔算的优点恰恰在于不必依赖个体的数字关联的意识,只要正确掌握计算程序,一般都能算出结果。如计算3.29÷4.7,除了转化为整数的竖式除法(或除数是整数的小数除法)外,横式笔算行得通吗?提出这个问题,无非想说明竖式笔算的普适性比横式笔算好。
  这个理由真像五十步笑百步。难道竖式笔算的普适性还比得上计算器吗?竖式笔算所能做的事,哪一件计算器不能做到?从数学教育的角度,计算教学的价值不能单纯落在掌握“算术”的层面,而要促进数的概念与数学思维的发展。这也是计算器时代,必须加强横式笔算,淡化竖式笔算的根本原因。就计算3.29÷4.7而言,横式笔算并非行不通,而是难度大了点,即对思维的挑战大了点。
  算法1:(估算)3.2÷5=0.64,3.29÷4.7≈0.64。
  算法2:3.29÷4.7=3.29÷(0.47×10)=(3.29÷0.47)÷10,
  0.47×2=0.94,0.94×2=1.88,0.94+1.88=2.82,2.82+0.47=3.29,
  3.29÷0.47=7, 3.29÷4.7=0.7.
  算法2涉及概念多,思路迂回曲折,技巧性强,不宜作为教学的普遍要求。其实,也不要为横式笔算而横式笔算。遇到这种计算题,应该允许学生估算或使用计算器。
新世纪版小学数学第八册教科书“小数除法”单元有一道应用题,如下:
      为什么要淡化竖式笔算
        (第一摞)                 (第二摞)
  这道题分步列式或综合列式,会遇到计算500÷4.7或7.05÷4.7。如果要求用竖式笔算,有难度;如果可以靠“数感”估算,或者用计算器计算,并不难。
  解法1:(500÷4.7)×7.05≈100×7=700(张)。
  解法2:500×(7.05÷4.7)≈500×1.4=700(张)。
  试想:如果由成人来解决这个问题,他会选择竖式笔算吗?恐怕不会。现实中成人解决实际问题,经常用的是口算(用横式笔算记录或支撑)、估算或者器(计算器)算。在标准的竖式笔算逐渐被成人束之高阁的今天,实在没有什么理由要求孩子必须掌握标准的竖式笔算。
  怎样淡化竖式笔算,提高学生的运算能力呢?
  重视口算,延后引入竖式笔算。在第一学段,“课程标准”规定的“能熟练地口算”“会口算”等学习目标必须得到落实;对于百以内的加减法、百以内一位数乘除两位数,必须在学生掌握了口算与横式笔算的基础上,再引入竖式笔算。口算以及记录口算过程与结果的横式笔算,都是源于学生实际操作的经验,所以算法与算理都很自然,很直观;培养口算与横式笔算的运算能力,有助于学生理解运算的算理。成人发明了竖式笔算,才造成所谓“算理直观与算法抽象”的矛盾;所以,在学生掌握口算与模式笔算方法之前,引入竖式笔算是没有意义的。
  第二,坚持倡导算法的多样化。引入竖式笔算后,只是多了一种算法的选择,不可让竖式笔算“技压群芳,一技独秀”。倡导算法多样化,是数学新课程为培养学生创新意识的重要举措,也是培养学生数感的重要途径。培养数感的教育价值,计算的灵活性与创造性是一个重要方面。目前应市的小学数学教科书,有的仍然是以掌握竖式笔算为重心,所编的“笔算”单元只学竖式笔算,并不倡导算法的多样化。有的虽然倡导算法多标准化,但做不到始终如一,坚持到底;特别是除法单元(一位数除三位数、两位数除三位数、小数除法),竖式笔算又成为除法唯一的选择。要淡化竖式笔算,至少要做到横式笔算与竖式笔算并重。
  要改进计算教学评价的重点及试题。不要刻意考查竖式笔算,竖式笔算只是作为学生可能选择的一种算法。小学计算教育具有双重目的。新课程把学习计算与解决问题的过程结合起来,突显计算是解决问题的手段,解决问题是计算的目的,是计算教育的一种价值取向——功利性;通过计算教育培养数感,包括借助计算器探索规律,发展数与运算的概念,提升人的数学素养与运算能力,是计算教育的另一种价值取向——人文性。不论应用题还是计算题,都应该着重考查计算器做不到的事情。应用题评价的重点:①能否为解决问题选择恰当的信息与适当的算法;②能否运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考;③能否主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略;④能否对计算的结果的合理性作出解释,等等。计算题的评价重点:①能否从数字关系寻找合理简洁的运算途径;②能否估计运算的结果;③能否根据运算律和法则正确地进行运算;④能否利用计算器探索数学规律(同时也考查了计算器的应用技能),等等。这些评价重点所涉及的数学思考都是计算器不可替代的。如果计算考查的是这些内容,考试让学生携带计算器又何妨?何况在计算器时代,善于使用计算器是每个公民必须具备的基本技能。
 
(发表于《人民教育》2010年第7期)
 
 
(作者:王永 编辑:admin)
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